GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Astronomische Navigation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Astronomische Navigation</h1>

</header>

</div>

Astronomische Navigation ist der Oberbegriff für alle Verfahren der <a href="Positionsbestimmung" class="mw-redirect" title="Positionsbestimmung">Positionsbestimmung</a>, die auf der Messung von <a href="Gestirn" title="Gestirn">Gestirnen</a> (<a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a>, <a href="Mond" title="Mond">Mond</a>, <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> oder ausgewählten <a href="Fixstern" title="Fixstern">Fixsternen</a>) beruhen. Sie eignet sich für Anwendungen auf dem Festland, in der Nautik und in der Luftfahrt.

Auch einige <a href="Astronomisch" class="mw-redirect" title="Astronomisch">astronomisch</a> gestützte Methoden der <a href="Richtungsmessung" title="Richtungsmessung">Richtungsmessung</a> und ‑kontrolle zählen zum Fachgebiet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Prinzip_der_Methode">Prinzip der Methode</h2></div>

Die Astronomische Navigation ist eine Positionsbestimmung mit <a href="Sextant" title="Sextant">Sextant</a>, <a href="Chronometer" title="Chronometer">Chronometer</a> und astronomischem <a href="Astronomisches_Jahrbuch" title="Astronomisches Jahrbuch">Almanach</a>.

Mit einem Sextanten misst ein ruhender Beobachter die scheinbare Höhe eines Gestirns (wozu auch Sonne, Mond oder Planeten zählen) über dem <a href="Horizont" title="Horizont">Horizont</a> – auf See über der <a href="Horizont#Horizont_in_der_Nautik,_Kimmlinie" title="Horizont">Kimm</a> – den sogenannten <a href="H%C3%B6henwinkel" class="mw-redirect" title="Höhenwinkel">Höhenwinkel</a> h. Gleichzeitig wird mit einem <a href="Chronometer" title="Chronometer">Chronometer</a> oder synchronisierter <a href="Digitale_Stoppuhr" title="Digitale Stoppuhr">Stoppuhr</a> der sekundengenaue Zeitpunkt der Messung in <a href="Koordinierte_Weltzeit" title="Koordinierte Weltzeit">Koordinierter Weltzeit</a> (UTC) erfasst.

Für die Standortbestimmung wird der <a href="Winkel#Komplementwinkel_oder_Komplementärwinkel" title="Winkel">komplementäre Winkel</a> ζ = 90°− h berechnet (also anstatt des messbaren Winkelabstandes zum Horizont der entsprechende Winkel zum <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a> errechnet) – die sogenannte <a href="Zenitdistanz" class="mw-redirect" title="Zenitdistanz">Zenitdistanz</a>.

In Tabellen wie dem <a href="Nautical_Almanac" title="Nautical Almanac">Nautical Almanac</a> wird ermittelt, über welchem <a href="Subsolarer_Punkt" title="Subsolarer Punkt">Punkt Z</a> der Erdoberfläche das beobachtete Gestirn zum Messzeitpunkt genau im <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a> stand – der sogenannte <a href="Bildpunkt_(Astronomische_Navigation)" class="mw-redirect" title="Bildpunkt (Astronomische Navigation)">Bildpunkt</a> (geometrisch der <a href="Fu%C3%9Fpunkt" title="Fußpunkt">Fußpunkt</a>). Da der gemessene Höhenwinkel normalerweise nicht 90° beträgt, sondern 90° − ζ, muss sich der eigene Standort O auf einem Kreisbogen O mit einem durch den Winkel ζ bestimmten Abstand vom Punkt Z befinden – an einem der Orte also, an dem das Gestirn unter dem gemessenen Winkel erscheint. Da auf dem Globus Winkel- und Entfernungsangaben einander entsprechen, beträgt dessen <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> ζ * 60 <a href="Nautische_Meile" class="mw-redirect" title="Nautische Meile">Nautische Meilen</a> (1 nm = 1/60 Grad).

Um einen eindeutigen Standort bestimmen zu können, muss die Messung mit einem anderen Gestirn (oder bei Messung des gleichen Gestirns mit einem ausreichenden zeitlichen Abstand) wiederholt werden. Diese liefert einen weiteren Punkt Z2, sowie einen zweiten Kreis mit einem durch ζ2 bestimmten Radius. Die beiden Kreise haben zwei (idealerweise sehr weit entfernte) Schnittpunkte, von denen lediglich einer als eigener Standpunkt infrage kommt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Prinzip_der_seemännischen_Praxis">Prinzip der seemännischen Praxis</h2></div>

Bei der zeitlich versetzten Messung desselben Gestirns (etwa der Sonne) ist nachteilig, dass man Messungen mit ausreichend großem Zeitabstand (möglichst 3–4 Stunden oder Winkel > 45°) benötigt, da sonst die Standlinien einen <a href="Schleifender_Schnitt" class="mw-redirect" title="Schleifender Schnitt">schleifenden Schnittwinkel</a> bilden und ungenau werden. Dieser Zeitabstand kann speziell bei unsicherem Wetter nicht immer eingehalten werden. Zudem ist eine mögliche zwischenzeitliche Ortsveränderung (<a href="Versegelung" title="Versegelung">Versegelung</a>) zu berücksichtigen – diese kann je nach Bedingungen relativ genau abgeschätzt (<a href="Gissen" title="Gissen">gegisst</a>) werden, bringt aber eine zusätzliche Ungenauigkeit ein.

Günstiger sind deshalb zeitnah ausgeführte Messungen zu unterschiedlichen <a href="Gestirne" class="mw-redirect" title="Gestirne">Gestirnen</a>. <a href="Tagbeobachtung" title="Tagbeobachtung">Bei Tage</a> sind zwar auch <a href="Stern_1._Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Stern 1. Größe">helle</a> Sterne im Sextanten nur selten zu sehen, wohl aber oft der <a href="Mond" title="Mond">Mond</a> und die <a href="Venus_(Planet)" title="Venus (Planet)">Venus</a>. Optimal ist untertags die Ortsbestimmung bei <a href="Mondphase" title="Mondphase">Halbmond</a>, weil dann Sonne und Mond einen Winkel von etwa 90° einnehmen und zeitnah beide Messungen am Tag durchgeführt werden können. Neu- und Vollmond hingegen sind für die Ortsbestimmung auf See unbrauchbar.

Sternmessungen sind vor allem in der Zeit um <a href="Sonnenaufgang" title="Sonnenaufgang">Sonnenauf</a>- bzw. <a href="Sonnenuntergang" title="Sonnenuntergang">Untergang</a> möglich – bis zum Beginn bzw. dem Ende der <a href="Nautische_D%C3%A4mmerung" class="mw-redirect" title="Nautische Dämmerung">nautischen Dämmerung</a>, in der neben den helleren Sternen ebenfalls der für die Höhenbestimmung unabdingbare Horizont erkennbar bleibt. Von den im Nautical Almanac enthaltenen 60 <a href="Navigationsstern" title="Navigationsstern">Navigationssternen</a> gibt es immer einige, deren gegenseitiger Winkel etwa 90° ist und deren Standlinien sich daher gut schneiden. Ein dritter Stern empfiehlt sich als Kontrolle. Beim Verfahren, wie es zur Verwendung der HO-249 Band 1 „selected stars“ sinnvoll ist, wird versucht, drei Fixsterne zu wählen, deren <a href="Azimut" title="Azimut">Azimute</a> sich jeweils um 60° unterscheiden. Solche Sternkonstellationen sind dort ebenso hervorgehoben wie besonders helle Sterne. Es ist sinnvoll, die Messungen in der Dämmerungszeit von Ost nach West durchzuführen, um das zur Verfügung stehende Zeitfenster, in dem der Horizont und die Sterne sichtbar sind, optimal zu nutzen, denn die Sterne sind bei Sonnenuntergang als erstes im Osten und bei Sonnenaufgang als letztes im Westen zu sehen. – Zum Auffinden und identifizieren der Sterne wurde vereinzelt der praktische „U.S. Star Finder and Identifier No. 2102 D“, herausgegeben vom U.S. Navy Hydrographic Office, Washington,<a href="#cite_note-1">[1]</a> benutzt.

In der Praxis stellt sich das Problem, dass in der Regel auf keiner Karte mit sinnvoll nutzbarem Maßstab die Kreise um die <a href="Bildpunkt_(Astronomische_Navigation)" class="mw-redirect" title="Bildpunkt (Astronomische Navigation)">Bildpunkte</a> der Gestirne eingezeichnet werden können, da die Abstände der Bildpunkte und der Schnittpunkte meist mehrere tausend Seemeilen voneinander entfernt sind. Beispielsweise wandert der Bildpunkt der Sonne (je nach Jahreszeit auf unterschiedlicher geografischer Breite zwischen den beiden Wendekreisen) mit 1667 km/h bzw. 900 kn von Ost nach West.

Daher wird für die tatsächliche Bestimmung auf hoher See in die <a href="Seekarte" title="Seekarte">Seekarte</a>, besser in eine <a href="Mercator-Projektion" title="Mercator-Projektion">mercatorskalierte</a> Leerkarte (vgl. Skizzen rechts in den Bildern), zunächst eine Schätzposition (Rechenort oder <a href="Gissung" class="mw-redirect" title="Gissung">gegisster Ort</a>) eingezeichnet. Für den Bildpunkt des Gestirns, dessen Höhenwinkel man gemessen hat, zeichnet man dann das für die Schätzposition berechnete <a href="Azimut" title="Azimut">Azimut</a> (Horizontalwinkel) ein, ausgehend von der Schätzposition. Gleichzeitig berechnet man die Entfernung zwischen Bildpunkt und Schätzposition (berechnete Höhe) und trägt die Differenz zwischen berechneter Höhe und beobachteter Höhe (korrigierter Sextantenwinkel) auf dem Azimutstrahl ausgehend vom Schätzort auf. Die gesuchte Standlinie ist ein Kreis durch diesen Punkt, wobei der Bildpunkt des beobachteten Gestirns den Kreismittelpunkt darstellt. Um die zeichnerische Konstruktion zu vereinfachen, ersetzt man das Kreisbogenstück durch die Tangente an den Kreis, die rechtwinklig an den Azimutstrahl konstruiert wird.

Die Werte der Beobachtung eines zweiten Gestirns führen zu einer zweiten geraden Standlinie, der Schnittpunkt beider Standlinien gilt dann als gesuchter Ort. Werden drei Gestirne beobachtet, bilden die Standlinien im Allgemeinen ein Dreieck, dessen Mitte man als gesuchten Ort betrachtet.

Für die Berechnung des Azimuts und der Entfernung zum Gestirns-Bildpunkt benötigt man die Lehrsätze der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie" title="Sphärische Trigonometrie">sphärischen Trigonometrie</a>, speziell die des <a href="Nautisches_Dreieck" title="Nautisches Dreieck">nautischen Dreiecks</a>. Man kann die Ergebnisse der notwendigen Rechenoperationen aber auch aus mehrbändigen Tabellenwerken (Pub. 249 bzw. Pub. 229 Sight Reduction Tables for Marine Navigation bzw. for Air Navigation), der amerikanischen <a href="National_Geospatial-Intelligence_Agency" title="National Geospatial-Intelligence Agency">National Geospatial-Intelligence Agency</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> mit anschließender Interpolation ermitteln.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umsetzung_der_seemännischen_Praxis">Umsetzung der seemännischen Praxis</h2></div>

Oben genanntes Tabellenwerk, das bei der Handelsschifffahrt unter dem Begriff „HO-Tafeln“ rangierte, stellte für die Berechnung des Schiffstandortes eine wesentliche Erleichterung dar. Bis etwa Mitte der 1960er Jahre wurde in der Praxis fast ausschließlich mit Nautischen Jahrbüchern (<a href="Ephemeriden" title="Ephemeriden">Ephemeriden</a>) und Nautischen Tafeln, die Logarithmen- und weitere Hilfstabellen enthielten, „zu Fuß“ gerechnet; eine komplette Standortbestimmung mittels dreier Gestirne – siehe rechts – dauerte daher einschließlich der Beobachtung ca. 40 bis 45 Minuten. Später mit den HO-Tafeln konnte man Gleiches mühelos in etwa 10 Minuten schaffen. Allerdings duldeten manche älteren Kapitäne das neue amerikanische Verfahren nicht.

Um auf deutschen Seefahrtschulen zu Kapitänslehrgängen (<a href="Bef%C3%A4higungszeugnis" class="mw-redirect" title="Befähigungszeugnis">A6/AG</a>) zugelassen zu werden, mussten bezüglich der astronomischen Beobachtungen gesetzliche Bestimmungen erfüllt werden.

<li class="gallerycaption">Astronomische Navigation an Bord eines <a href="Seeschifffahrt" title="Seeschifffahrt">Seeschiffes</a> – 1963</li>

<div class="gallerytext">Der <a href="Navigator" title="Navigator">Navigationsoffizier</a> „schießt“ eine <a href="Sonnenh%C3%B6he" title="Sonnenhöhe">Sonnenhöhe</a> mit dem <a href="Sextant" title="Sextant">Sextanten</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Mittagsbesteck" title="Mittagsbesteck">Mittagsbesteck</a>: 4 Sonnenstandlinien + <a href="Kulmination_(Astronomie)" title="Kulmination (Astronomie)">Meridiandurchgang</a> ergibt <a href="Schiffsmittag" title="Schiffsmittag">Schiffsmittag</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Astronomische Schiff-Standort Berechnung, 3 <a href="Fixstern" title="Fixstern">Fixsterne</a> + <a href="Venus_(Planet)" title="Venus (Planet)">Planet</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Astronomische Schiff-Standort Berechnung, 2 Fixsterne + <a href="Polarstern" title="Polarstern">Polarstern</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beschickung_des_Sextanten">Beschickung des Sextanten</h2></div>

Der mit dem Sextanten gemessene Winkelabstand h zwischen dem sichtbaren Horizont (der sogenannten <a href="Horizont#Horizont_in_der_Nautik,_Kimmlinie" title="Horizont">Kimm</a>) und dem Gestirn muss mehrfach korrigiert werden, bevor er zur Berechnung der Position benutzt werden kann:

<ul><li>Bei der Beobachtung von <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> und <a href="Mond" title="Mond">Mond</a> muss noch der halbe Durchmesser (ca. 16′) des Gestirns hinzugefügt oder abgezogen werden, je nachdem ob man die Unter- oder Oberkante beobachtet hat.</li>

<li>Die Höhe des Beobachters über dem Meeresspiegel, die sogenannten <a href="Augesh%C3%B6he" title="Augeshöhe">Augeshöhe</a> – sie macht die Kimm überhaupt erst sichtbar – lässt einen zu großen Winkel messen (die <a href="Kimmtiefe" class="mw-redirect" title="Kimmtiefe">Kimmtiefe</a>).</li>

<li>Die Lichtstrahlen der Gestirne werden in der Atmosphäre gebrochen. Diesen Effekt nennt man <a href="Beugung_(Physik)" title="Beugung (Physik)">Refraktion</a>, hier speziell <a href="Astronomische_Refraktion" title="Astronomische Refraktion">Astronomische Refraktion</a> und er ist umso stärker, je tiefer das Gestirn steht (je näher an der Kimm). Wenn die Sonne scheinbar <a href="Sonnenuntergang" title="Sonnenuntergang">untergeht</a>, ist sie in Wahrheit schon etwa 0,6° tiefer. Die Refraktion nimmt für kleine Winkel stark zu (bei 5 Grad rund 10′) und hängt von <a href="Lufttemperatur" title="Lufttemperatur">Lufttemperatur</a> und ‑druck ab. Deshalb vertraut der Navigator einer Messung bei Kimmabstand unter 10 Grad nur eingeschränkt.</li>

<li>Die Formel ζ = 90° − h gilt nur für unendlich weit entfernte Objekte. Der dadurch verursachte Fehler heißt <a href="Horizontalparallaxe" title="Horizontalparallaxe">Horizontalparallaxe</a>. Sie ist bei der Astronavigation mit Sonne und Fixsternen vernachlässigbar, aber nicht für die <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> (Korrekturen bis etwa 0,5′) und besonders beim Mond (bis zu 1°02′).</li></ul>

Werte für diese Korrekturen finden sich ebenfalls als Tabellen im nautischen Almanach, die als „Gesamtbeschickung für den Kimmabstand des Sonnenunterrandes“, „Gesamtbeschickung für den Kimmabstand eines Fixsterns oder Planeten“ und „Gesamtbeschickung für den Kimmabstand des Mondunterrandes“ sowie „Zusatzbeschickungen“ bezeichnet sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Genauigkeit_und_Grenzen_der_Astronavigation">Genauigkeit und Grenzen der Astronavigation</h2></div>

Mit Hilfe einer sekundengenauen Uhr, des aktuellen Almanach und eines handelsüblichen Sextanten erreicht ein geübter Beobachter bei idealen Bedingungen Genauigkeiten der Sternmessung von 1′ und in der Position 1–2 Seemeilen. In der Praxis sind die Bedingungen selten ideal:

<ul><li>An Bord von Schiffen steht man auf etwas schwankendem Untergrund. Der Marine- oder <a href="Spiegelsextant" class="mw-redirect" title="Spiegelsextant">Spiegelsextant</a> kann das großteils ausgleichen (Gestirn und Kimm bleiben fast in Deckung), doch nur solange sie nicht aus dem Gesichtsfeld heraus wackeln.</li>

<li>Wolken und Dunstschleier behindern oft die Sicht auf die Gestirne. Astronavigation ist aber nur möglich bei zumindest teilweise freiem Himmel. Günstiger als im Schnitt sind hier die <a href="Rossbreiten" title="Rossbreiten">Rossbreiten</a> (15–30° <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">Breitengrad</a>) und hohe Breiten. Die 60 Navigationssterne im Almanach reichen zwar auch bei halber Bewölkung aus, sind aber nicht immer identifizierbar.</li>

<li>Der <a href="Nachthimmel" title="Nachthimmel">Nachthimmel</a> am Meer ist nicht deutlich heller als die <a href="Horizont#Horizont_in_der_Nautik,_Kimmlinie" title="Horizont">Kimm</a>, sodass Höhenmessungen unsicher sind – auch wenn die Kimm scheinbar gut wahrnehmbar ist. Mit üblichen Sextanten sind daher Sterne und Planeten nur in der Morgen- und Abenddämmerung genau messbar. Ein Blasensextant (mit eingespiegelter, beleuchteter <a href="Libelle_(Messtechnik)" title="Libelle (Messtechnik)">Libelle</a>) schafft hier Abhilfe.</li>

<li>Tief stehende Gestirne sind im Sextanten zwar leichter zu finden als hohe, für die Berechnung aber unsicherer.</li></ul>

Ein Beispiel aus der Praxis zeigt nebenstehende Berechnung/Skizze. – Hier erkennt man sofort, dass <a href="Koppelort" title="Koppelort">Koppelort</a> Og und <a href="Beobachteter_Ort" title="Beobachteter Ort">beobachteter Ort</a> Ob weit auseinander liegen. – Dies ist das Beobachtungsergebnis nach 3 Tagen anhaltend schlechtem Wetter (Winter Nordatlantik) mit geschlossener Wolkendecke und keiner Möglichkeit einer astronomischen Ortsbestimmung. – Allein dieses Beispiel verdeutlicht, warum es bei <a href="Seenot" title="Seenot">Seenotfällen</a> mitunter zu falschen Positionsangaben kommen konnte, mit Standortabweichungen von 10, 20 und mehr Seemeilen. – Interessant ist hierzu der Spiegel-Artikel 1958 über den Untergang des <a href="Pamir_(Schiff)" title="Pamir (Schiff)">Segelschulschiffs Pamir</a>, der sich u. a. auch mit der fehlerhaften Positionsangabe beschäftigt.<a href="#cite_note-Der_Spiegel_30/1958-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_der_Standlinie">Berechnung der Standlinie</h2></div>

Zur Berechnung der im Kapitel „<a href="#Prinzip_der_seemännischen_Praxis">Prinzip der seemännischen Praxis</a>“ beschriebenen Standlinie betrachte man das durch den Nordpol, das Gestirn (hier die Sonne) und den Zenit des Standortes am Himmelszelt aufgespannte sphärische Dreieck. In diesem Dreieck sind

<ul><li>die Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ce5f0d5199c80cdce8c5d0520c5723dea7c88b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.596ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> die momentane <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a> des beobachteten Gestirns ist</li>

<li>die Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=90^{\circ }-\varphi }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=90^{\circ }-\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7271e7b222d0ce8ce46cbb58061ac52ae1d378bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.836ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=90^{\circ }-\varphi }" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> die <a href="Geographische_Breite" title="Geographische Breite">geographische Breite</a> des Beobachters ist</li>

<li>die Seite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=90^{\circ }-h}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=90^{\circ }-h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/680b78bd29255d17c298c1d0f6a1e33cc7d710c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.664ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c=90^{\circ }-h}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die Zenitdistanz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> des Gestirns und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> die Höhe des Gestirns über dem Horizont sind.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Grt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91abe326f3e3b35b9fa26892a8c7238c9b573556.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Grt}" loading="lazy"> ist der <a href="Greenwich_(London)" title="Greenwich (London)">Greenwich</a>-<a href="Stundenwinkel" title="Stundenwinkel">Stundenwinkel</a> des beobachteten Gestirns. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> ist der Winkel zwischen den Meridianen des Beobachters und des Gestirns. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> ist die geographische Länge des Beobachters, wobei östliche Längen positiv und westliche Längen negativ angegeben werden.

Das beschriebene Dreieck kann unter anderem mit dem <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz" title="Sphärische Trigonometrie">Seiten-Kosinussatz</a> der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie" title="Sphärische Trigonometrie">sphärischen Trigonometrie</a> berechnet werden. Dieser Kosinussatz lautet:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fdb51eb1375326d3ee6f742c790bd140b02f2f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.565ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

Ersetzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">,<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> wie oben beschrieben, so folgt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy">:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\cos \gamma ={\frac {\sin h-\sin \delta \cdot \sin \varphi }{\cos \delta \cdot \cos \varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8938d274c25ce6bce6ee81f9ee36b1bca1ff65e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.238ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \,\cos \gamma ={\frac {\sin h-\sin \delta \cdot \sin \varphi }{\cos \delta \cdot \cos \varphi }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die geographische Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> ist:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =\gamma -Grt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c5eb86c4f3a2e7494fdd6affc630ecf559099fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.271ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \lambda =\gamma -Grt}" loading="lazy"></dd></dl>

also:

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =\pm \arccos \left[{\frac {\sin h-\sin \delta \cdot \sin \varphi }{\cos \delta \cdot \cos \varphi }}\right]-Grt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e344f1d23e4714633a02b46209075631d345c18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.868ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =\pm \arccos \left[{\frac {\sin h-\sin \delta \cdot \sin \varphi }{\cos \delta \cdot \cos \varphi }}\right]-Grt}" loading="lazy">

</pre>

Der Beobachter bestimmt mit dem Sextanten zu einem bestimmten Zeitpunkt die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> des Gestirns. Der Greenwich Stundenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Grt}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Grt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91abe326f3e3b35b9fa26892a8c7238c9b573556.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Grt}" loading="lazy"> und die Deklination <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> des Gestirns werden für diesen Zeitpunkt der Nautischen Tafel<a href="#cite_note-almanach-4">[4]</a> entnommen. Für jede mögliche Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> des Beobachters, kann die dazugehörende Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mit obiger Formel berechnet werden. Das Ergebnis ist eine geschlossene Standlinie auf der Erdoberfläche. Von jedem Punkt dieser Standlinie (in der Grafik blau eingezeichnet), wird das Gestirn zu einem bestimmten Zeitpunkt in gleicher Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> gesehen.

Berechnet man aus zwei Breiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7daf493c8f6ef669c04c7b9715532fc35d12d60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c08631714273b6c8edaa9573ef3d8c548314a930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}}" loading="lazy"> die dazugehörenden Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b668a1bd1e8ab9452ca975b7497546e7c1ba187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{2}}" loading="lazy">, und verbindet man die beiden Punkte auf der Karte, so entsteht die Standlinie, auf der sich der Beobachter befinden muss.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Ein Beobachter, der sich in der <a href="Sahara" title="Sahara">Sahara</a> irgendwo auf einer geographischen Breite zwischen 24° und 26° Nord befindet, misst am Dienstag, 13. April 2021 um 14:00 Uhr <a href="UTC" class="mw-redirect" title="UTC">UTC</a> die Höhe der Sonne über dem Horizont. Die gemessene und <a href="#Beschickung_des_Sextanten">beschickte</a> Höhe der Sonne ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=50^{\circ }36.0'=50.60^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=50^{\circ }36.0'=50.60^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a23b05a35a7cd073fbd37fd50aba44e858c4191.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.085ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h=50^{\circ }36.0'=50.60^{\circ }}" loading="lazy">. Gemäß dem Nautischen Almanach<a href="#cite_note-almanach-4">[4]</a> hat die Sonne zu diesem Zeitpunkt eine Deklination <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta =N09^{\circ }15.6'=9.26^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =N09^{\circ }15.6'=9.26^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91fb75e51b41960f71c50355e112b136485da4ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \delta =N09^{\circ }15.6'=9.26^{\circ }}" loading="lazy"> und einen Greenwich-Stundenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Grt=29^{\circ }52.8'=29.88^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Grt=29^{\circ }52.8'=29.88^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d74ef5fed1a54ed212a1a9c500f3a58dccf8f67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:24.461ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Grt=29^{\circ }52.8'=29.88^{\circ }}" loading="lazy">. Für die zwei Breitengrade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}=24^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}=24^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94fb969b077e4647d7b087eb23134b7e52bd19be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.052ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}=24^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{2}=26^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}=26^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c7216abd81ffaa07e8fa58ac272790b9b0edcaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.052ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}=26^{\circ }}" loading="lazy"> berechnen sich die zwei dazugehörenden Längen als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}=8^{\circ }27'}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}=8^{\circ }27'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19b2b7f71d6c26113c1a6bf65f5fa659a491217e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}=8^{\circ }27'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{2}=7^{\circ }47'}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{2}=7^{\circ }47'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730e7c3104ea95076ad18b727221c0136cddec23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{2}=7^{\circ }47'}" loading="lazy">. Der Beobachter muss sich auf der 235 km langen Verbindungslinie zwischen den zwei Standorten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\varphi _{1},\lambda _{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\varphi _{1},\lambda _{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc0e7caf07d4453d4ba1302ca17fbc972a4f39a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\varphi _{1},\lambda _{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\varphi _{2},\lambda _{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\varphi _{2},\lambda _{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fb41c86d458ebfce6ee5c63c780d7314cf280ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\varphi _{2},\lambda _{2})}" loading="lazy"> im <a href="Tassili_n'Ajjer" title="Tassili n'Ajjer">Tassili n'Ajjer</a> befinden. Berechnet man mit einem zweiten Gestirn oder wieder mit der Sonne zu einem anderen Zeitpunkt eine zweite Standlinie, so werden sich diese am Standort des Beobachters kreuzen.

Berechnet man die Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> nicht nur für die zwei gewählten Breiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7daf493c8f6ef669c04c7b9715532fc35d12d60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c08631714273b6c8edaa9573ef3d8c548314a930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}}" loading="lazy">, sondern für alle möglichen Breiten, so entsteht die in der oberen Grafik blau eingezeichnete Standlinie auf der Erdoberfläche, von der aus alle Beobachter die Sonne zum angegebenen Zeitpunkt auf einer Höhe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=50^{\circ }36'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=50^{\circ }36'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a4578d8ee9b7dc3e39910c292629ba8c97a5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.826ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h=50^{\circ }36'}" loading="lazy"> sehen. Wie die (blaue) Standlinie zeigt, gibt es im <a href="Atlantik" class="mw-redirect" title="Atlantik">Atlantik</a> östlich der <a href="Bahamas" title="Bahamas">Bahamas</a> noch einen zweiten Standort zwischen 24° und 26° Nord an dem die Sonne auf gleicher Höhe beobachtet wird. Zur Berechnung der Länge dieses Standortes wird obige Formel mit dem Minuszeichen vor dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arccos }">

<mi>arccos</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arccos }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f10121c1f582201ae32a56303e36bee4191336.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.218ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \arccos }" loading="lazy"> angewandt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_der_Standlinie_bei_ungefähr_bekanntem_Ort">Berechnung der Standlinie bei ungefähr bekanntem Ort</h2></div>

Ein zweiter Weg, die Standlinie, bei ungefähr bekanntem Standort zu bestimmen, basiert auf der Messung der Höhe eines Gestirns und der gerechneten Höhe des Gestirns am geschätzten Ort. Die <a href="Seemeile" title="Seemeile">Seemeile</a> ist die Distanz auf der Erdoberfläche, die im Zentrum der Erde, bzw. im Zentrum der Himmelskugel einen Winkel von einer Bogenminute (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79d11d7c157294172a55bbd41363d0ac130dade7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1'}" loading="lazy">) aufspannt. Wenn die gemessene Höhe des Gestirns um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> Bogenminuten kleiner als die für den geschätzten Standort und für einen bestimmten Zeitpunkt berechnete Höhe ist, so befindet sich der Beobachter wegen der <a href="Erdkr%C3%BCmmung" title="Erdkrümmung">Erdkrümmung</a> auf einer Linie, die sich vom Gestirn aus gesehen um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> Seemeilen hinter dem geschätzten Ort befindet. Die Höhe des Gestirns für den geschätzten Standort (🐪) berechnet sich (wie oben) mit dem sphärischen Seitenkosinussatz

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cea75a19fcd78e289da8e2143a8b196989a7ffb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.178ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

wobei wieder gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ce5f0d5199c80cdce8c5d0520c5723dea7c88b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.596ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=90^{\circ }-\delta }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\;b=90^{\circ }-\varphi \;\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\;b=90^{\circ }-\varphi \;\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c087d5da51389c1037fbe0e1974daf1611e633ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;\;b=90^{\circ }-\varphi \;\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\;c=90^{\circ }-h}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\;c=90^{\circ }-h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb369fc900354055b34fbd4ad75c8345df2f00fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.954ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \;\;c=90^{\circ }-h}" loading="lazy">

Der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> ist die Summe der geographischen Länge des vermuteten Ortes und des momentanen Greenwich-Stundenwinkels des Gestirns.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =Grt+\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b02ffddf541eed201c36b34d73df5093d6a6178b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.271ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma =Grt+\lambda }" loading="lazy"> </dd></dl>

Den momentanen Greenwich-Stundenwinkel entnimmt man dem astronomischen Almanach<a href="#cite_note-almanach-4">[4]</a>.

Ersetzt man im Seitenkosinussatz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> wie beschrieben, so folgt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin h=\sin \varphi \cdot \sin \delta +\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ff37b893fdf58bd3adf9939dcdd6e2e964623f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin h=\sin \varphi \cdot \sin \delta +\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma }" loading="lazy"></dd></dl>

Die berechnete Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> ist also:

<mi>arcsin</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=\arcsin \lbrack \sin \varphi \cdot \sin \delta +\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma \rbrack }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2a93618e797c4c57931f7ceb963bbddf3ed4f83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h=\arcsin \lbrack \sin \varphi \cdot \sin \delta +\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma \rbrack }" loading="lazy">

</pre>

Das Azimut des Gestirns lässt sich für den geschätzten Ort und die gegebene Zeit aus dem folgenden Seitenkosinussatz berechnen:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\cos a=\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d92419a9cbf32a060c6bceda3803a2c2b8df01f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:38.568ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \,\cos a=\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha }" loading="lazy"></dd></dl>

Ersetzt man in letzter Formel wie oben gegeben die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f13f068df656c1b1911ae9f81628c49a6181194d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c}" loading="lazy"> und löst nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> auf, so folgt:

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\pm \arccos \left[{\frac {\sin \delta -\sin h\cdot \sin \varphi }{\cos h\cdot \cos \varphi }}\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41a24da783d530cac19966aef3dfd2426248933b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.445ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\pm \arccos \left[{\frac {\sin \delta -\sin h\cdot \sin \varphi }{\cos h\cdot \cos \varphi }}\right]}" loading="lazy">

</pre>

Jetzt sind für einen bestimmten Zeitpunkt und für einen bestimmten geschätzten Ort das Azimuth und die Höhe des Gestirns bekannt. Die ArcCos-Funktion liefert positive und negative Winkel im Bereich von 0° bis 180°. Wird der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> als positiv angenommen, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> das nach Osten gerichtete Azimut. Wird der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> als negativ angenommen, so ist es ein nach Westen gerichtetes Azimut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =360^{\circ }+\alpha }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =360^{\circ }+\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddbd644511027a91bb44b5f7f82c0c9f80318806.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.323ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle =360^{\circ }+\alpha }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel</h3></div>

Sie befinden sich in der Nähe der Oase <a href="El_Golea" class="mw-redirect" title="El Golea">El Golea</a>, wissen aber nicht, ob Sie östlich oder westlich der Oase sind. Das Zentrum der Oase befindet sich bei den Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =30^{\circ }35.0'N}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =30^{\circ }35.0'N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dce970510cb44f32d640ff68ad7a13ab97f4e50b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.88ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi =30^{\circ }35.0'N}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =002^{\circ }53.0'E}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =002^{\circ }53.0'E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abbbeac4a609af575ff87754bc2923c5186bc1bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.59ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda =002^{\circ }53.0'E}" loading="lazy">. Es ist Montag, 21. Juni 2021 16:00 UTC Uhr und Sie haben in der Sandwüste eine Messung der Sonnenhöhe durchgeführt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{M}=55^{\circ }41.8'}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{M}=55^{\circ }41.8'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd3e0d15dc4b831527a5c3893e628c95151dee98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{M}=55^{\circ }41.8'}" loading="lazy">. Gemäß Almanach<a href="#cite_note-almanach-4">[4]</a> sind der Greenwich-Stundenwinkel und die Deklination der Sonne zu diesem Zeitpunkt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Grt=59^{\circ }31.3'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Grt=59^{\circ }31.3'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97aa514978662c64b956194fc5e44cd3ea6b8226.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.012ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Grt=59^{\circ }31.3'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta =N23^{\circ }26.2'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =N23^{\circ }26.2'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b066b01fb6cfd06d09c9fb4dfd5b70ffb4c4c39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \delta =N23^{\circ }26.2'}" loading="lazy">. Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =Grt+\lambda =62.405^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =Grt+\lambda =62.405^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c52a34d105836f0ce039d92e35c4caceee0126d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma =Grt+\lambda =62.405^{\circ }}" loading="lazy"> in der Höhenformel ein, so sieht man, dass die Sonne an diesem Tag zur gegebenen Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=55^{\circ }22.3'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=55^{\circ }22.3'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db9fa64a836eb0a034054a4a3467891aa9c08716.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h=55^{\circ }22.3'}" loading="lazy"> über dem Horizont El Goleas steht. Setzt man diese Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> in der Formel für das Azimut ein, so findet man, dass das Azimut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2840c94b59b82c832470b34186426313ca18c1ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.947ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =92^{\circ }27.1'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =92^{\circ }27.1'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eec2696b83ce478f3b607287c3dc23dafd74f8be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =92^{\circ }27.1'}" loading="lazy"> ist. Wir wissen, dass um 16 Uhr UTC die Sonne westlich von El Golea steht und für uns daher das erste Azimut gilt.

Die in der Wüste gemessene Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e2e096fe4213789b0ee319d617727707bf292fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.298ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{M}}" loading="lazy"> ist 19,5' größer, als die Sonnenhöhe, die wir zu gegebenem Zeitpunkt in El Golea beobachtet hätten. Wir befinden uns also auf einer 19,5 Seemeilen von El Golea entfernten, in Richtung Sonne gelegenen Standlinie. Auf der Karte zeichnet man von El Golea ausgehend eine Linie mit dem Azimut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2840c94b59b82c832470b34186426313ca18c1ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.947ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =267^{\circ }33.0'}" loading="lazy"> ein und quer dazu in einer Distanz von 19,5 NM = 36,11 km unsere Standlinie. Wir befinden uns westlich von El Golea. Eine zweite Messung mit einem anderen Gestirn oder eine zweite Messung der Sonnenhöhe zu einem anderen Zeitpunkt ergäbe eine zweite Standlinie. Unser Standort ist der Schnittpunkt der beiden Standlinien.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ergänzende_Verfahren">Ergänzende Verfahren</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_des_Breitengrads">Bestimmung des Breitengrads</h3></div>

Die <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">geografische Breite</a> lässt sich auch direkt durch Messung des Höchststandes der <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> (sogenanntes <a href="Mittagsbesteck" title="Mittagsbesteck">Mittagsbesteck</a>) oder eines markanten <a href="Fixstern" title="Fixstern">Fixsterns</a> (Obere Kulmination) bestimmen. Bis zur Erfindung des <a href="Sextant" title="Sextant">Sextanten</a> erfolgte dies mit dem <a href="Jakobsstab" title="Jakobsstab">Jakobsstab</a>. Bei ruhiger See und deutlich erkennbarem Horizont ist mit modernen Sextanten eine Genauigkeit von ca. einer Bogenminute (1/60 Grad) erreichbar, was in <a href="Standort" title="Standort">Position</a> einer <a href="Seemeile" title="Seemeile">Seemeile</a> (1852 m) entspricht. Diese Form der Astronavigation wird auch <a href="Breitensegeln" title="Breitensegeln">Breitensegeln</a> und das Ergebnis die Mittagsbreite genannt.

Der <a href="Polarstern" title="Polarstern">Polarstern</a> nimmt unter den Gestirnen eine Sonderrolle ein, da er nördlich des Erdäquators durch seine Lage nahe am <a href="Himmelspol" title="Himmelspol">Himmelspol</a> während der ganzen Nacht sichtbar, leicht identifizierbar und ausreichend hell ist. Aus dem gemessenen <a href="H%C3%B6henwinkel" class="mw-redirect" title="Höhenwinkel">Höhenwinkel</a> des Polarsterns ergibt sich der <a href="Breitengrad" class="mw-redirect" title="Breitengrad">Breitengrad</a> nach nur wenigen rechnerischen Korrekturen (maximal 0,9°) unmittelbar.

Beobachtet man die <a href="Obere_Kulmination" class="mw-redirect" title="Obere Kulmination">Obere Kulmination</a> eines Gestirns, spricht man von einer <a href="Meridianbreite" title="Meridianbreite">Meridianbreite</a>. Auch sie ist einfach auszuwerten (vereinfachte <a href="Sterneck-Methode" title="Sterneck-Methode">Sterneck-Methode</a>) und wenn die Südrichtung nicht genau bekannt ist, können die Messungen auch <a href="Zirkummeridian" title="Zirkummeridian">zirkummeridian</a> erfolgen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_des_Längengrads">Bestimmung des Längengrads</h3></div>

Die Bestimmung der <a href="Geografische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Geografische Länge">geografischen Länge</a> ist nur mit Hilfe einer genauen Zeitmessung möglich und ist in die Geschichte der Seefahrt als das <a href="L%C3%A4ngenproblem" title="Längenproblem">Längenproblem</a> eingegangen. Die Orientierung des Sternhimmels hängt ab vom Tag, der Weltzeit und dem Längengrad. Sind Datum und Uhrzeit (UTC) bekannt, erhält man die Länge aus der Sternposition.

Beispiel 1: Am Ausgangspunkt ist um 2:00 Uhr <a href="Sonnenzeit" title="Sonnenzeit">Sonnenzeit</a> der <a href="Zirkumpolar_(Astronomie)" title="Zirkumpolar (Astronomie)">zirkumpolare</a> <a href="Gro%C3%9Fer_B%C3%A4r" title="Großer Bär">Große Wagen</a> so wie im Bild orientiert. An anderen Längengrad-Positionen erscheint er entsprechend dem Längenwinkel gedreht: Bei einer um 30° östlicheren Position steht er an der Position 4, bei 30° westlich an Position 0.

Beispiel 2: Entlang eines Breitengrads wird dieselbe Position des Großen Wagens zu anderen Zeiten erreicht. Ein Unterschied von einem Längengrad verursacht eine Zeitverschiebung von 24h/360°, also 4 Minuten. Erreicht beispielsweise der Große Wagen die Position erst um 3:00 Uhr, befindet man sich 15° westlicher vom Ausgangspunkt.

Beobachtet man den <a href="Kulmination_(Astronomie)" title="Kulmination (Astronomie)">Kulminationszeitpunkt</a> der Sonne aus ihrem <a href="H%C3%B6henwinkel" class="mw-redirect" title="Höhenwinkel">Höhenwinkel</a>, so kann man aus dem nautischen Almanach die Länge des eigenen <a href="Standort" title="Standort">Standorts</a> ermitteln. Wegen der um die Mittagszeit fast horizontalen Sonnenbahn ist die Kulmination nur durch Mittelung zweier Zeiten gleicher Sonnenhöhe vor und nach der Kulmination genau genug bestimmbar. Hat sich der Beobachter zwischen diesen zwei Zeitpunkten bewegt, so sind insbesondere für Nord-Süd Ortswechsel Korrekturen für die zweite Sonnenhöhe erforderlich (siehe <a href="Versegelung" title="Versegelung">Versegelung</a>).

Viermal im Jahr (16. April, 14. Juni, 1. September und 25. Dezember) ist die <a href="Zeitgleichung" title="Zeitgleichung">Zeitgleichung</a> Null. Rund um diese Tage kann die Länge ohne zusätzliche Tabellen – nur aus dem Höchststand der Sonne und der Weltzeit UTC – bestimmen.

Das <a href="L%C3%A4ngenproblem" title="Längenproblem">Längenproblem</a> konnte man vor Erfindung des <a href="Schiffschronometer" class="mw-redirect" title="Schiffschronometer">Schiffschronometers</a> nur näherungsweise mit <a href="Tobias_Mayer" title="Tobias Mayer">Tobias Mayers</a> Methode der <a href="Monddistanz" title="Monddistanz">Monddistanzen</a> lösen, allerdings bestenfalls auf Zehntelgrad genau. Denn

<ul><li>die Mondbahn unterliegt zahlreichen schwer berechenbaren Störungen,</li>

<li>und bewegt sich nur jede Stunde um seinen Durchmesser weiter;</li>

<li>die Haltung des Messgeräts, mit dem der Winkel zwischen Mond und Stern gemessen wird, ist schwierig, da zwei annähernd punktförmige Objekte gleichzeitig und z. T. unter großen Winkeln zu erfassen sind.</li></ul>

Allerdings schreibt <a href="Georg_Forster" title="Georg Forster">Georg Forster</a> über seine Weltreise mit James Cook 1774 bei der Osterinsel, dass trotz der neuen Chronometer (nach John Harrison) die Methode der Längenbestimmung mittels Monddistanzen die genaueste sei.

Inzwischen gibt es neue Tafeln von Bruce Stark zu Monddistanzen (s. u.), mit denen sich Zeit und Ort auf See bestimmen lassen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Entwicklung_und_moderne_Positionsbestimmung">Weitere Entwicklung und moderne Positionsbestimmung</h3></div>

Erst gegen Ende des <a href="19._Jahrhundert" title="19. Jahrhundert">19. Jahrhunderts</a> waren hochpräzise, robuste Uhren so billig geworden, dass sich jeder Kapitän eine solche leisten konnte, und das Prinzip der Zeitmessung setzte sich endgültig gegen Mayers Methode der Monddistanzen durch. Da sich die Erde am Äquator mit ca. 463 m/s bewegt, verursacht ein Uhrenfehler von 1 s einen Positionsfehler von bis zu 463 m. Mit Einführung des <a href="Kurzwelle" title="Kurzwelle">Kurzwellenfunks</a> konnten sekundengenaue Zeitinformationen (Zeitzeichen) auf hoher See mit einfachen <a href="Radio" title="Radio">Radiogeräten</a> empfangen werden, wodurch sich die <a href="Ortsbestimmung" title="Ortsbestimmung">Positionsbestimmung</a> weiter verbesserte. Heute verwendet der Navigator zur Positionsbestimmung das Höhendifferenzverfahren nach Marcq Saint-Hilaire: Dabei wird die Höhe eines Gestirns über dem Horizont für den Koppelort zum Messzeitpunkt berechnet.

Die Höhengleiche (die Linie auf der Erdoberfläche, von der aus alle Beobachter für ein bestimmtes Gestirn denselben Höhenwinkel messen) ist ein Kreis auf der Erdoberfläche. Alle Beobachter auf dieser Linie sind gleich weit vom Bildpunkt entfernt, dem Ort, an dem die Verbindungslinie zwischen Gestirn und Erdmittelpunkt die Erdoberfläche durchstößt. Aufgrund des großen Radius dieser Kreise kann die Höhengleiche in der Praxis als Gerade angenommen werden, wenn der Höhenwinkel des Gestirns über dem Horizont kleiner als 85° ist. Daraus ergibt sich eine Standlinie. Schneidet man Standlinien mehrerer Gestirne, erhält man einen wahren Ort. Wenn man z. B. am Tag nur die Sonne als einziges Gestirn zur Verfügung hat, „versegelt“ man die Standlinie, verschiebt sie also entlang des Kurses um die zurückgelegte Distanz, bis man eine andere Standlinie erhält, mit der diese zum Schnitt gebracht werden kann. Dieses „Versegeln“ kann man auf alle Arten von Standlinien anwenden (siehe hierzu <a href="Navigation" title="Navigation">Navigation</a>).

Heutzutage verwenden Schiffe zur Navigation <a href="Globales_Navigationssatellitensystem" title="Globales Navigationssatellitensystem">Navigationssatellitensysteme</a>, doch sind Mittel für die Positionsbestimmung mit astronomischen Methoden (also Tabellen und Geräte) weiterhin vorgeschrieben. Nach einer etwa zehnjährigen Pause unterrichtet die US-Navy seit 2011 wieder Navigatoren, und seit Herbst 2015 alle Offiziere, in Astronomischer Navigation.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Navigationsstern" title="Navigationsstern">Navigationsstern</a></li>

<li><a href="L%C3%A4ngenuhr" title="Längenuhr">Längenuhr</a>, <a href="Astrolabium" title="Astrolabium">Astrolabium</a>, <a href="Sextant" title="Sextant">Sextant</a></li>

<li><a href="GPS" class="mw-redirect" title="GPS">GPS</a>, <a href="GLONASS" title="GLONASS">GLONASS</a>, <a href="Galileo_(Satellitennavigation)" title="Galileo (Satellitennavigation)">Galileo</a></li>

<li><a href="Koppelnavigation" title="Koppelnavigation">Koppelnavigation</a>, <a href="Peilung" title="Peilung">Peilung</a> nach <a href="Polarstern" title="Polarstern">Polarstern</a></li>

<li><a href="Interplanetare_Navigation" title="Interplanetare Navigation">interplanetare Navigation</a></li>

<li><a href="Space_Sextant" title="Space Sextant">Space Sextant</a>, <a href="Raumlage" title="Raumlage">Raumlage</a></li>

<li>Astronomisch-inertiale Navigation</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Dava_Sobel" title="Dava Sobel">Dava Sobel</a>: Längengrad. btb Taschenbuch, 1998, ISBN 3-442-72318-3. (Engl. Orig.: Longitude, 1995)</li>

<li>Frank Mestemacher: Astronomische Navigation. Nicht nur zum Ankommen. Kruse, Stralsund 2013, ISBN 978-3-941444-87-4</li>

<li>Wolf Nebe: Praxis der Astronavigation. Erklärung der Grundlagen anhand farbiger Grafiken; schnelle Standortbestimmung durch klar strukturierte Anweisungen. Delius Klasing, Bielefeld 1997, ISBN 3-7688-0984-6</li>

<li><a href="Bobby_Schenk" title="Bobby Schenk">Bobby Schenk</a>: Astronavigation. Delius Klasing, Bielefeld 2000, ISBN 3-7688-0259-0</li>

<li>Gerhard Meyer-Uhl: Praktische Astronavigation mit Weltumseglern. (= BLV-Bordpraxis, Nr. 7) BLV-Verlagsgesellschaft, München / Wien / Zürich 1980, ISBN 3-405-12219-8</li>

<li>Karl-Richard Albrand: Astronomische Navigation heute. (= Up to date, Weiterbildung an Bord, Nr. 24) Herausgegeben vom Sozialwerk für Seeleute e. V., Hamburg. Neue überarbeitete Auflage, Stand 1991. Hamburg: Sfs, 1991</li>

<li>Mary Blewitt: Praktisches Navigieren nach Gestirnen. Delius Klasing, Bielefeld 1992, ISBN 978-3-87412-033-3</li>

<li><a href="Walter_Stein_(Astronom)" title="Walter Stein (Astronom)">Walter Stein</a>; Werner Kumm: Astronomische Navigation. (<a href="Yacht-B%C3%BCcherei" title="Yacht-Bücherei">Yacht-Bücherei</a>, Band 88) 11. Auflage. Delius Klasing, Bielefeld 2002, ISBN 3-87412-138-0</li>

<li>Werner F. Schmidt: Astronomische Navigation. Ein Lehr- und Handbuch für Studenten und Praktiker. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York / Barcelona / Budapest / Hong Kong / London / Mailand / Paris / Santa Clara / Singapur / Tokyo 1996, ISBN 3-540-60337-9</li>

<li>Winfried Böhm: Handbuch der Navigation – Begriffe, Formeln, Verfahren, Schemata. Bussesche Verlagshandlung, Herford 1978, ISBN 3-87120-323-8</li>

<li>Joachim Böhme, Walter Steinfatt, Lothar Uhlig: Astronomische Navigation. (= Leitfaden der Navigation). 4. Auflage. Transpress Verlag für Verkehrswesen, Berlin 1987, ISBN 3-344-00000-4</li>

<li>C. S. Draper: Space navigation – guidance and control. Mackay, London 1966</li>

<li>Edward V. Stearns: Navigation and guidance in space. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1963</li>

<li>Hasso Eichel: Ortsbestimmung nach Gestirnen. Franckh’sche Verlagshandlung, Stuttgart 1962</li>

<li>Robert A. Park, Thomas Magness: Interplanetary navigation – principles and methods for journeys to other planets. Holt, Rinehart and Winston, New York 1964</li>

<li><a href="Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a>; P. Jordan; H. Siedentopf: Orientierung im Weltall. (= Das internationale Forum, Heft 3). Fontana-Verlag, Zürich 1954</li>

<li>Markus Werthmann: Astronavigation. Dipl.-Arb., Uni.Innsbruck, 2008</li>

<li>Sergejs Slaucitajs: Über die astronomische Navigation in hohen Breiten = On astronomical navigation in high latitudes. (= Contributions of Baltic University, Nor.14) Baltic University, Pinneberg 1947. 16 Seiten Umfang</li>

<li>Stark, Bruce: Stark Tables for Clearing the Lunar Distance and finding Universal Time by Sextant Observation (3. edition 2010), www.starpath.com/publications, ISBN 978-0-914025-21-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Celestial_navigation?uselang=de">Commons: Astronomische Navigation</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.astronavigation.net/">Schrittweise Anleitung zur Astronavigation</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ocean-navigation.de/">Astronomische Navigation inkl. Monddistanzen</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://wp.astrosail.com/tutorial/astronomische-navigation/">Astronavigation beim Segeln</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kowoma.de/gps/astronav/nautjahrbuch.htm">Ephemeriden und Sternenpositionen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> siehe <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/United_States_Hydrographic_Office" class="extiw external" title="en:United States Hydrographic Office">in der englischen Wikipedia</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://msi.nga.mil/NGAPortal/MSI.portal">Maritime Safety Information.</a> In: msi.nga.mil, abgerufen am 15. November 2012

</li>

<li id="cite_note-Der_Spiegel_30/1958-3"><a href="#cite_ref-Der_Spiegel_30/1958_3-0">↑</a> <cite style="font-style:italic">Pamir-Untergang, Drei Fragen</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Der_Spiegel" title="Der Spiegel">Der Spiegel</a></cite>. Nr. 30, 1958 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spiegel.de/spiegel/print/d-41761952.html">online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Astronomische+Navigation&rft.atitle=Pamir-Untergang%2C+Drei+Fragen&rft.date=1958&rft.genre=journal&rft.issue=30&rft.jtitle=Der+Spiegel" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-almanach-4">↑ <a href="#cite_ref-almanach_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-almanach_4-1">b</a> <a href="#cite_ref-almanach_4-2">c</a> <a href="#cite_ref-almanach_4-3">d</a> Zum Beispiel: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20210122053321/https://thenauticalalmanac.com/2021%20Nautical%20Almanac.pdf">The Nautical Almanac 2021</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 22. Januar 2021 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) abgerufen am 15. Mai 2023

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Tim Prudente: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160220164427/http://www.capitalgazette.com/news/naval_academy/ph-ac-cn-celestial-navigation-1014-20151009-story.html">Seeing stars, again: Naval Academy reinstates celestial navigation.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 20. Februar 2016 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) In: Capital Gazette, 12. Oktober 2015; abgerufen am 15. Mai 2023

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-28" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Astronomische_Navigation&oldid=258357077">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>